| Сотрудничество |
|
Поставьте себе на сайт и сообщите мне |
|
Статьи |
Примеры решения задач и помощь по Теории вероятности (продолжение)
Смотрите начало решений задач по теории вероятности
Игральная кость подбрасывается два раза. Какова вероятность того, что хотябы один раз появляется шестерка?
РЕШЕНИЕ
Результат двукратного подбрасывания кости можно описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Число таких строк равно 62 = 36.Симметричность кости позволяет использовать модель Лапласа для n = 36 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятности Р(С) события С, составленного из строк u = u1u2 для которых u1 = 6 или u2 = 6:
С = {61, 62, 63, 64, 65, 66,16, 26, 36, 46, 56}.
1. Имеем:
P(c) = n(c)/n(U) = 11/36.
2. Дополнение А = С` события С состоит из строк u = u1u2 для которых u1 ≠ 6 или u2 ≠ 6. Число таких строк равно 52 = 25. Поэтому
Р(С`) = Р(А) = 52/62 = (5/6)2.
По правилу дополнения
Р(С) = Р(А’) = 1 - (5/6)2 = 11/36.
3. Событие С можно представить в виде объединения событий А = {61,62,63,64,65,66} и В = {16,26,36,46,56,66}, описывающих появление шестерки соответственно при первом и втором подбрасываниях.
Имеем:
P(А) = 6/36, Р(B) = 6/36, Р(АВ) = Р ({66};) = 1/36.
По правилу объединения,
P(С) = Р(A U В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 6/36 + 6/36 - 1/36 = 11/36.
В урне находятся 5 шаров, отличающихся только номерами 1, 2, 3, 4, 5. Вынимается на угад выбранный шар и отмечается его номер. Вынутый шар возвращается в урну. После тщательного перемешивания из нее выниматся наугад выбранный шар. Какова вероятность того, что вынимается не один и тот же шар?
РЕШЕНИЕ
Результаты рассматриваемого опыта молено описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из номеров 1, 2, 3, 4, 5. Число таких строк 52 = 25. Условие о выборе наугад позволяет использовать модель Лапласа для n = 25 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятности Р(А) события А, составленного из всех строк u = u1u2 с различными номерами u1 ≠ u2. Дополнение А` события А состоит из строк u = u1u2 с одинаковыми номерами (u1 = u2).
А` = {11,22,33,44,55}.
По правилу дополнения,
Р(А) = 1 - Р(A`) = 1 - n(A`) /n(U) = 1 - 5/25 = 4/5.
В урне находятся 5 шаров, отличающихся только номерами 1, 2, 3, 4, 5. Вынимается на угад выбранный шар. Вынутый шар не возвращается в урну. Вновь вынимается наугад выбранный шар. Какова вероятность того, что номера вынимаемых шаров нечетные или в сумме меньше пяти?
РЕШЕНИЕ
Результаты рассматриваемого опыта молено описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из неравных номеров u1 и u2 из множества {1, 2, 3, 4, 5}. Число таких строк равно 20. Условие о выборе наугад позволяет использовать модель Лапласа для n = 20 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятности Р(А U В) объединения A U В событий А и В, составленных из строк u = u1u2 (u1 ≠ u2), для которых соответственно u1 и u2 нечетные или u1 + u2 ≤ 5:
А = {13,15, 31, 35, 51, 53}, В = {12,13,14, 21, 23, 31, 32, 41},
АВ = {13,31}.
Имеем:
Р(А) = 6/20, Р(В) = 8/20, Р(АВ) = 2/20.
По правилу объединения,
Р(A U В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ) = 6/20 + 8/20 - 2/20 = 3/5.
На реактивном двигателе вместо одного установлено два воспламенителя 1 и 2. На воспламенителе 1 вместо одного установлено два электрозапала 3 и 4, на воспламенителе 2 — электрозапалы 5 и 6. Каждый из этих элементов системы запуска двигателя независимо от других с вероятностью а = 103 выходит из строя. Какова вероятность запуска двигателя?
РЕШЕНИЕ
Используем модель Бернулли для n = 6 испытаний с вероятностью успеха а = 10-3. Задача сводится к вычислению вероятности объединения A U В U С U D событий: А = Н1Н3, В = Н1Н4, С = Н2Н5 D = Н2Н6, описывающих рабочее состояние воспламенителей и соответствующих электрозапалов. Последовательно применяя правило объединения, убеждаемся в том, что
Р (A U В U С U D) = S1 - S2 + S3 - S4,
где
S1 = P (A) + P (В) + P (c) + P (D),
S2 = P (AB) + P (AC) + P (AD) + P (ВС) + P (BD) + P (CD),
S3 = P (ABC) + P (ABD) + P (ACD) + P (BCD),
S4 = P (ABCD).
Используя формулу успехов и неудач, получаем:
Р (A U В U С U D) = 4 (1- а)2 - (2(1 - а)3 + 4(1 - а)4) +
+ 4(1 - а)5 - (1 - а)6 = 1 - а2 - 2а3 + а4 + 2а5 - а6 ≈ 1 - 10-6.
Можно считать, что запуск двигателя практически достоверен.
При рождении n = 2 неидентичных близнецов каждый из них с вероятностью 0.52 оказывается мальчиком и с вероятностью 1 — а = 0.48 — девочкой. Какова вероятность того, что близнецы оказываются одного пола?
РЕШЕНИЕ
Предположим, что для описания неидентичных близнецов можно использовать модель Бернулли для n = 2 испытаний с вероятностью успеха а = 0.52. В этой модели задача сводится к вычислению вероятности Р(А) события А = У1У2 + Н1Н2, описывающего появление двух мальчиков или двух девочек. Используя правило сложения и формулу успехов и неудач, получаем:
Р(А) = Р(У1У2) + Р (H1H2) = а2 + (1 - а)2= (0.52)2 + (0.48)2 ≈ 0.50.
Игральная кость подбрасывается два раза. Известно, что сумма очков равна 10. Какова вероятность при этом условии того, что один раз появляется 6 очков ?
РЕШЕНИЕ
Используем модель задачи 1. Тогда данная задача сводится к вычислению условной вероятности PB(A) события A = {46, 64} при условии B = {46, 55, 64}. По правилу деления
PB(A) = P(AB) / P(B) = P({46,64};)/P({46,55,64};) = (2/36) / (3/36) = 2/3.
В урне находятся 5 шаров, отличающихся только номерами 1, 2, 3, 4, 5. вынимается наугад выбранный шар и отмечается его номер. Вынутый шар возвращается в урну. Известно, что первый раз выбирается шар 1. Какова вероятность при этом условии того, что второй раз выбирается шар 2?
РЕШЕНИЕ
Все дело сводится к вычислению условной вероятности PB(A) события A = {12, 22, 32, 42, 52} при условии B = {11, 12, 13, 14, 15}. По правилу деления,
PB(A) = P(AB) / P(B) = P({12};)/P({11,12,13,14,15};) = (1/5 * 1/5) / 1/5 = 1/5.
В урне находятся 5 шаров, отличающихся только номерами 1, 2, 3, 4, 5. вынимается наугад выбранный шар и отмечается его номер. Вынутый шар не возвращается в урну. Известно, что первый раз выбирается шар 1. Какова вероятность при этом условии того, что второй раз выбирается шар 2?
РЕШЕНИЕ
Все дело сводится к вычислению условной вероятности PB(A) события A = {22, 32, 42, 52} при условии B = {11, 12, 13, 14, 15}. По правилу деления,
PB(A) = P(AB) / P(B) = P({12};)/P({11,12,13,14,15};) = (1/5*1/4) / 1/5 = 1/4
Симметричная монета подбрасывается n = 10 раз. Известно, что при к = 3-м подбрасывании появляется герб. Какова вероятность при этом условии того, что этот герб первый?
РЕШЕНИЕ
В модели Бернулли для n = 10 испытаний с вероятностью успеха а = 1/2 задача сводится к вычислению условной вероятности PB(A) события А = Н1Н2У3 при условии В = У3. Тогда
РB(А) = Р (АВ) /Р (В) = Р(Н1Н2У3)/Р(У3)= (1/2*1/2*1/2) / 1/2 = ¼
Известны:
1) вероятности Р (Bi) = βi нескольких исключающих друг друга условий Вi, одно из которых с достоверностью выполняется;
2) условные вероятности РBi (А) = αi события А при условии, что выполняется Вi.
Какова вероятность Р (А) события А ?
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим конечную вероятностную модель с множеством исходов U = {11,…,i1,…, n1, 10,…, i0,…, n0}, составленном из n строк 11,…, i1,…, n1, n строк 10,…, i0,…, n0, и элементарной вероятностью р со значениями:
p(i1) = βiαi p(i0) = βi(1-αi) (i = 1,…,n)
В этой модели каждое условие Вi = {i1, i0} (i = 1,…, n) составлено из двух строк i1 и i0, а событие А = {11,…, i1,…, n1} — из строк 11,…, i1,…, n1. Используя свойства вероятностей βi и αi, нетрудно проверить, что в этой модели
P(Bi) = βi PBi(A) = αi (i = 1,…,n)
Решение задачи дает
Формула полной вероятности:
Имеются красная, черная и белая урны с черными и белыми шарами. В красной урне a1 = 1 черный и а2 = 2 белых шара, в черной — b1 = 2 черных и b2 = 3 белых, в белой — c1 = 3 черных и с2 = 4 белых. Из красной урны наугад выбирается шар. Если этот шар черный, то следующий шар также наугад выбирается из черной урны. Если шар, выбранный из красной урны, белый, то следующий шар наугад выбирается из белой урны. Какова вероятность того, что оба выбирающиеся шара имеют одинаковый цвет?
РЕШЕНИЕ
Условимся описывать:
строкой 11: выбор черного шара из красной урны и черного шара из черной урны;
строкой 12: выбор черного шара из красной урны и белого шара из черной урны;
строкой 21: выбор белого шара из красной урны и черного шара из белой урны;
строкой 22: выбор белого шара из красной урны и белого шара из белой урны.
Множество строк U = {11,12,21,22} описывает возможные результаты рассматриваемого опыта.
Условия В1 = {11,12}, B2 = {21, 22} описывают соответственно выбор черного и белого шаров из красной урны. Так как выбор производится наугад, то
Аналогично, вследствие выбора наугад шаров из черной и белой урн, условные вероятности события А = {11,22}, описывающего выбор двух черных или двух белых шаров, равны соответственно:
Из правила умножения вытекает, что элементарная вероятность р, описывающая реализуемость возможных результатов рассматриваемого опыта, имеет значения:
В вероятностной модели, определяемой такими множеством исходов U и элементарной вероятностью р, задача сводится к вычислению вероятности Р(А) события А = {11,21}. По формуле полной вероятности:
Краткое решение. Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 1/3, β2 = 2/3 и условными вероятностями α1 = 2/5, α2 = 4/7. По формуле полной вероятности:
По данным переписи 1951 года, в Англии и Уэльсе среди отцов, имеющих сыновей, оказалось 13% темноглазых и 87% светлоглазых. У темноглазых отцов оказалось 39% темноглазых и 61% светлоглазых сыновей. У светлоглазых отцов оказалось 10% темноглазых и 90% светлоглазых сыновей. Какова вероятность того, что наугад выбранные среди этого населения отец и сын имеют глаза одинакового цвета?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 0,13, β2 = 0,87 и условными вероятностями α1 = 0,39, α2 = 0,90. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 ≈ 0.78.
Статистика показывает, что среди двоен оказывается 28% идентичных и 72% неидентичных близнецов. Среди идентичных близнецов 100% одного пола, 0% разного пола. Среди неидентичных близнецов 50% одного пола, 50% разного пола. Какова вероятность того, что наугад выбранные среди двоен близнецы имеют одинаковый пол?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 0,28, β2 = 0,72 и условными вероятностями α1 = 1, α2 = 0,50. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 ≈ 0.64.
Имеются красная, черная и белая урны с черными и белыми шарами. В красной урне a1 = 1 черный и а2 = 2 белых шара, в черной — b1 = 2 черных и b2 = 3 белых, в белой — c1 = 3 черных и с2 = 4 белых. Из красной урны наугад выбирается шар. Если этот шар черный, то следующий шар также наугад выбирается из черной урны. Если шар, выбранный из красной урны, белый, то следующий шар наугад выбирается из белой урны. Какова вероятность того, что второй из выбирающихся шаров черный?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 1/3, β2 = 2/3 и условными вероятностями α1 = 2/5, α2 = 3/7. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 ≈ 0.42.
Среди помещенных в Т-образный лабиринта голодных крыс 50% бегут в левый конец и 50% в правый. Среди крыс, побывавших в левом конце с пищей и вновь помещенных в лабиринт, (50 + 100 *ε)% бегут в левый конец и (50 - 100 *ε)% в правый. Среди крыс, побывавших в правом конце без пищи и вновь помещенных в лабиринт, 50% бегут в левый конец и 50% в правый. Какова вероятность того, что вновь помещенная крыса побежит в левый конец?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 0,5, β2 = 0,5 и условными вероятностями α1 = 0,5+ε, α2 = 0,5 (0≤ε≤0,5). Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 = 0.5(1+ε).
Замечание. Число е выражает эффективность рассматриваемого процесса обучения крысы и определяется экспериментально. Например, если ε = 0.05, то вероятность того, что повторно помещенная в лабиринт крыса побежит к пище, равна 0.525.
В самоанском письменном тексте 67% гласных и 33% согласных букв. Среди букв, следующих непосредственно за гласной, 49% гласных и 51% согласных. Среди букв, следующих непосредственно за согласной, 100% гласных и 0% согласных. Какова вероятность того, что за наугад выбранной буквой самоанского текста непосредственно следует гласная буква?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 0,67, β2 = 0,33 и условными вероятностями α1 = 0,49, α2 = 1. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 ≈ 0.66.
По линии связи посылаются сигналы 1,0 с вероятностями р1 = 0.6, р0 — 0.4. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями r11 = 0.9, r10 = 0.1 принимаются сигналы 1, 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями r01 = 0.3, r00 = 0.7 принимаются сигналы 1, 0. Какова вероятность того, что принимается сигнал 1?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = р1, β2 = р0 и условными вероятностями α1 = r11, α2 = r01. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 = 0.66.
По линии связи посылаются сигналы 1,0 с вероятностями р1 = 0.6, р0 — 0.4. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями r11 = 0.9, r10 = 0.1 принимаются сигналы 1, 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями r01 = 0.3, r00 = 0.7 принимаются сигналы 1, 0. Какова вероятность того, что принимается сигнал 1?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = р1, β2 = р0 и условными вероятностями α1 = r10, α2 = r00. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 = 0.34.
По линии связи с вероятностью pi посылается сигнал i (i = 0, 1,…, n — 1). Если посылается сигнал i, то с вероятностью rij принимается сигнал j (j = 0, 1,…, n — 1). Какова вероятность того, что принимается сигнал j?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий βi = pi и условными вероятностями αi = rij. Искомая вероятность равна
Известны:
1) вероятности Р (Bi) = βi возможных исключающих друг друга предположений Вi;
2) условные вероятности РBi (A) = αi события А при условии, что верно предположение Вi.
Какова условная вероятность РA ( Bi ) того, что верно предположение Bi при условии, что реализуется событие А?
РЕШЕНИЕ
Пусть события B1, B2,… Bn образуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события Bk (k=1,…,n) при условии, что событие A произошло, задается формулой Байеса:
Формула полной вероятности:
Имеются красная, черная и белая урны с черными и белыми шарами. В красной урне a1 = 1 черный и а0 = 2 белых шара, в черной — b1 = 2 черных и b0 = 3 белых, в белой — c1 = 3 черных и с0 = 4 белых. Из красной урны наугад выбирается шар. Если этот шар черный, то следующий шар также наугад выбирается из черной урны. Если шар, выбранный из красной урны, белый, то следующий шар наугад выбирается из белой урны. Какова условная вероятность того, что первый шар черный при условии, что последний шар черный?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к вычислению условной вероятности РB1 (А) события В1 = {11,10} при условии А = {11,01}. По формуле Байеса
Формула полной вероятности:
Имеются пять урн следующего состава:
2 урны (состава B1) по 2 белых и 3 черных шара,
2 урны (состава B2) по 1 белому и 4 черных шара,
1 урна (состава B3 ) — 4 белых и 1 черный шар.
Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие A). Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероятность) того, что шар вынут из урны третьего состава?
РЕШЕНИЕ
Согласно предположению
P(B1)=2/5, P(B2)=2/5, P(B3)=1/5;
РB1(А)=2/5, РB2(А)=1/5, РB3(А)=4/5.
Согласно формуле Байеса имеем:
|
| |
| Категория: Учебные статьи | Добавил: DiP_admin (20 Января 2014)
| Автор: Дмитрий E
|
| Просмотров: 11599
|
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ] |
|
|
20 Апреля 2024, Суббота
00:07
>Г Л А В Н А Я
>Ф А Й Л Ы
>С Т А Т Ь И
>Р Е Ф Е Р А Т Ы
>Ф О Р У М
>О Т З Ы В Ы
>Т Е С Т Ы
>F l a s h И Г Р Ы
>Ф О Т О Ш О П
